Charlie's VuePress

修改日期

2022-8-8 17:28:20

TACA 白给记

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机房电脑甚至都不断网的说，旁边的电脑一直邀我去沙城，考试中途还从后面电脑传来了不可描述的嚎叫声*(:з」∠)*

数学考到一半就走了一半人，我差点以为是因为半年没学数学，自己过于菜了（连 14 岁小孩都比不过

题目

  1. 设取整 $\left[\frac{10^{2022}}{10^{100}-9}\right]$ 被 $10^n$ 整除，则非负整数 $n$ 的最大可能值为**___**.

一眼小学数学，但是不会。做完别的题后回来做这个，找规律:

$$\frac{1}{9991}=0.;0001;0009;0081;0729\dots$$

发现答案每 $100$ 位分割后都是 $9^n$ ，然后 $n<\frac{2022}{100}<21$， $9^n$ 的最大值不超过 $21$ 位，所以结果是 $$\dots xxx;000\dots000$$ 一共剩下来 $22$ 个零。

  1. 设 $ an=\left(\frac{1+q}{1-q}\right)\left(\frac{1+q^2}{1-q^2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1+q^4}{1-q^4}\right)^{\frac{1}{4}}\cdots\left(\frac{1+q^{2^n}}{1-q^{2^n}}\right)^{\frac{1}{2^n}}$ ,其中 $q=\frac{11}{13}$ ,记 $ a=\lim{n\to +\infty}a_n$ ,则 $[a]=$ _.

做了半天试图泰勒展开，结果算不了，果断放弃。

出来一看解析，硬做即可。。。

  1. 满足方程 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+...+\frac{1}{k_n}=1$ , $ k_1k_2\cdots k_n\leq200$ 的所有有序正整数组 $(n,k_1,…,k_n)$ 的组数为**__**.

这题纯纯小学找规律，一共是五种情况

$$ (1, 1) := {1\over1}=1\ (2, 2, 2) := {1\over2}+{1\over2}=1\ (3, 2, 4, 4) := {1\over2}+{1\over4}+{1\over4}=1\ (3, 2, 3, 6) := {1\over2}+{1\over3}+{1\over6}=1\ (3, 3, 3, 3) := {1\over3}+{1\over3}+{1\over3}=1\ $$

我看这不是都有序嘛，于是填了 $5$ 。。。此顺序非彼排序也

答案是 $12$ ，因为第三组有三种排列，第四组有六种。。。

  1. 已知不等式 $\frac{e^{22x}+e^{-22x}}{2}\leq e^{cx^2}$ 对所有实数 $x$ 均成立，则 $[c] $ 的最小可能值为**__**.

想了半天双曲函数有啥性质，最后摆烂泰勒展开：

诶不是，这咋一项更比一项弱啊，难不成 ${c\over 22^2}\leq{1\over2}$ 就是答案嘛？喵喵喵？？

（喜提 $10$ 分）

  1. 记 $ I=\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}}\frac{\mathrm{d}x}{\sin x}$ , 则 $[100I]=$ __.

记得见过 $\csc x$ 的积分，但是就是不会做，于是瞎凑，结果还真凑出来了 2 $\ln(\tan {x\over2})$

算出来 $27$ 乐滋滋写上去了，答案是 $54$ ，那么大个 2 简直就是对我的嘲讽，好耶。

  1. 设正实数 $c_1,c_2,c_3$ 使得对任意定义在 $[-\pi,\pi]$ 上的三次多项式 $f(x)$ 均有 $\frac{1}{2\pi}\int^{\pi}_{-\pi}f(x)\ \mathrm{d}x=c_1f(-\pi)+c_2f(0)+c_3f(\pi)，则\left[\frac{c_2+c_3}{c_1}\right]$ 的最大可能值为**__**.

暴力设 $f(x)$ ，暴力求，好像写对了，可是这是为什么呢？？

  1. 设函数 $\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ 满足 $\varphi^{\prime\prime}_i(x)-\ln(x+1)\varphi^\prime_i(x)+e^x\varphi_i(x)=0,$ $i=1,2, x＞1$ .定义 $\omega(x)=\varphi^\prime_1(x)\varphi_2(x)-\varphi_1(x)\varphi^\prime_2(x)$ .若 $\omega(0)=1$ ,则 $[\omega(2)]=$ ___.

不会 awa

  1. 设正实数数列 ${a_n}{n\geq1}$ 满足 $\lim{n\to+\infty}a_n\sum^{n}{i=1}a_i=100$ ,记 $I=\lim{n\to+\infty}(\sqrt{n}a_n)$ ,则 $[I]=$ _.

观察一下，这个数列大概是单调递减，但是 $I$ 要乘上一个 $\sqrt{n}$ ，这提示也太明显了啊喂，果断设 $a_n={k\over\sqrt{n}}$ ，把 $\sum^{n}_{i=1}a_i$ 近似成 $\int_0^n a_i di$ （误差咱也不知道是多少，考场上全靠蒙）然后喜提 $10$ 分。

  1. 已知欧拉常数 $\gamma=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 约等于 $0.5772156649$ ,记 $I=\frac{100}{\int^{1}_{0}\left(\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right]\mathrm{d}x\right)}$ ,则 $[I]=$ _.

写错了，这题不会。。。

  1. 设 $ A=\begin{bmatrix} a*{11}&a*{12}\ a*{21}&a*{22}\ \end{bmatrix}$ 为实对称矩阵，且其两个特征值分别为 1949 和 2023，记 $I$ 为 $a_{12}$ 的最大可能值，则 $[I]=$ __.

过于白给，直接设三个元后韦达定理乱搞即可，显然对角线两个元最值时应该相等。

  1. 设 $V$ 为 2022 维实线性空间， $f:V\to V$ 为线性变换，记 $ W_1={x\in V|f(x)=0},$ $ W_2={x\in V|\ \exists y\in V,x=f(y)}$ .则 $(\dim W_1)\times(\dim W_2)$ 的最大可能值为**__**.

没看明白题意，直接蒙 $1011^2$ 两个空间各占一半，蒙对了可还行。。。

后四道题都不会，属实是菜出天际了。估分 $60$ （1，4，6，8，10，11），有两道题（3，5）但凡检查一下都能做对呜呜呜

菜死了

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